Моделирование свободной турбулентности в отрывных и струйных течениях в рамках метода дискретных вихрей

Построение математических моделей сдвигового турбулентного течения несжимаемой жидкости при Больших числах Рейнольдса в рамках метода дискретных вихрей базируется на трактовке свободной турбулентности как иерархии вихрей разного масштаба. При этом крупномасштабное турбулентное движение рассматривается в общем случае как трехмерное и существенно нестационарное, оно порождается потерей устойчивости и распадом упорядоченных вихревых образований, превращением их в вихревые ансамбли. Последние, двигаясь вместе со средой, деформируются, захватывают друг друга и образуют как новые макроструктуры, так и мелкие вихри. 2

Существенно, что вихревые движения содержат органически прису­щий им механизм потери устойчивости и перехода от порядка к хаосу. Полученные с помощью метода дискретных вихрей (МДВ) решения позволяют без использования эмпирических констант определять поля средней скорости и давления, нормальных и сдвиговых рейнольдсо — вых напряжений, пульсаций давления, корреляции пульсаций скорости и давления, соответствующие масштабы турбулентности и спектры.

Основное в данной концепции — дискретное описание явления как по пространству, так и по времени. Можно утверждать, что вихревые движения жидкой среды содержат органически присущий им механизм потери устойчивости и перехода от порядка к хаосу. Данный подход позволил подтвердить важную роль крупномасштабных когерентных структур в турбулентном перемешивании в слоях смешения, струях, следах и отрывных течениях, которые были ранее обнаружены экс­периментально. Когерентные, упорядоченные структуры — сгустки за­вихренности локализованы в пространстве и отличаются значительным временем существования. Для описываемой методологии очень важно установление факта слабой зависимости этих явлений от вязкости среды, т. е. в первом приближении вязкая диссипация не учитывается.

Расчет вихревой структуры турбулентности следа, струи, слоя сме­шения и отрывного течения выполняется путем решения системы диф­ференциальных уравнений

где І —номер свободного вихря, N —число вихрей, Ui, Vi, Wi — скоро­сти в вершинах вихревой рамки, найденные с учетом влияния всех вихрей; xi, yi, zi — безразмерные координаты, т — безразмерное вре­мя. Полное решение задачи содержит два взаимосвязанных этапа: решение системы линейных уравнений для циркуляции суммарных вихрей на поверхности тела, которые соответствуют граничным усло­виям о непротекании, и определение положений свободных вихрей. То и другое следует осуществить совместно, однако обычно это дела­ется последовательно, с повторяющейся задержкой на один временной шаг Дт.

Все алгоритмы в том или ином виде содержат неявные источники возмущений, например рост числа свободных вихрей при развитии те­чения. Поэтому даже если картина обтекания тела в целом периодична, начальные условия не будут строго повторяться в соответствующие моменты времени. Кроме того, в задачах с симметричными условиями своеобразным источником возмущений оказывается разная последова­тельность расчетов скоростей или циркуляций в симметричных точках.

В правой части уравнений (2.33) стоят безразмерные скорости, получающиеся в результате суммирования средних скоростей набега­ющего потока и их пульсаций, а также вызванные вихрями на теле и свободными вихрями следа или струи. Для вихрей учитываются

граничные условия о непротекании поверхности тела или сопла. Основ­ным источником возникновения турбулентности при Больших числах Рейнольдса является движение Большого числа свободных дискретных вихрей. Процесс разрушения регулярных вихревых структур имеет трехмерный характер, причем решающую роль в нем играют силы инерционной природы.

В МДВ реализуются два механизма диссипации энергии (диффузии вихрей).

1. Как Было отмечено, движение свободных вихрей описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (2.33). В МДВ нельзя обычным образом вычислять скорости вблизи вихрей в зоне «дискретности» ввиду сингулярности формулы Био-Савара (ui = Гі/2пт), а если свободный вихрь Г попадает в «зону дискрет­ности» Г, необходимо «сглаживание» скоростей, что эквивалентно соответствующему уменьшению Гі, Г. Это ведет к срезанию пиков в скоростях, что можно трактовать как «численную диффузию» в МДВ.

2. При численном интегрировании уравнений (2.33) на каждом шаге Дт вместо формулы

ts+ Ат

Ts

в методе Эйлера используется ее упрощенное представление

xS+1 = xS + й? Дт,…,

т. е. решаются уравнения типа

где £x, £y, £z — малые случайные функции.

Как было указано, излагаемая методология позволяет реализовать замкнутое описание сдвиговой турбулентности без использования эм­пирических констант благодаря тому, что в рамках МДВ удается мо­делировать диссипацию турбулентной энергии. При этом не требуется, чтобы количественные параметры диссипации совпадали с истинными. Здесь важно, что в построенном методе моделирования турбулентного движения реализуется сток энергии.

Для расчета статистических характеристик турбулентности преж­де всего следует определить средние значения компонент скорости < ui >, среднего давления <p> и их пульсаций ui(r) и p'(r):

после чего определяются и другие характеристики: нормальные и сдви­говые рейнольдсовы напряжения, коэффициенты корреляции и спек­тры. Нормальные рейнольдсовы напряжения:

 

‘2 і • 1

<w > = lim —

T^ж T

т

Ruudr,

0

коэффициент временной корреляции или автокорреляции:

 

Коэффициент автокорреляции R (т) и энергетический спектр E(f) связаны соотношением

R(t ) =

E( f) = 4 < u’2 >

E(f) cos 2nftdf, R(t) cos2nftdt.

Следует отмєтить, что в отличиє от методов расчета турбулентных струй и следов, основанных на использовании алгебраических или дифференциальных моделей турбулентности и содержащих несколько эмпирических констант, излагаемый в настоящем разделе метод рас­чета, кроме отсутствия эмпирических констант, обладает еще одним преимуществом. Он позволяет, помимо поля средних скоростей, опре­делить три компоненты нормальных и сдвиговых рейнольдсовых напря­жений, коэффициенты пространственной, временной и пространствен­но-временной корреляции, корреляции пульсаций скорости и давления, а также спектры.

В качестве иллюстраций возможностей указанного подхода к мо­делированию свободных сдвиговых турбулентных течений рассмотрим результаты расчета для ряда примеров.

Плоский турбулентный след за поперечно обтекаемой пластиной [23, 25]. Расчеты показывают, что здесь возможны два режима обте­кания: симметричный и несимметричный. Первый из них оказывается неустойчивым, в нем отсутствует поперечное перемешивание вихревых сгустков с положительной и отрицательной циркуляцией. Несиммет­ричная вихревая структура плоского следа за пластиной в фиксиро­ванный момент времени показана на рис. 2.7, там же представлены осредненные картины течения за пластиной при несимметричном (1) и симметричном (2) режимах. В первом случае зона обратных токов за пластиной намного короче. Изменение расчетных и опытных значе­ний средних скорости и давления, а также двух компонент пульсаций скорости вдоль оси следа за пластиной показано на рис. 2.8.

Отрывное обтекание интерцептора [31, 61]. Сравниваются рас­четные [61] и экспериментальные [31] профили скорости <и>, пуль­саций скорости єи, среднего давления < cp > и интенсивности его пульсаций £p = (< c’p >)1/2 на пластине (рис. 2.9). На рис. 2.10 при­ведено изменение коэффициента пространственной корреляции при­стеночных пульсаций давления вдоль по потоку Rpp(xoАх) при трех значениях xo/h.

Плоские затопленные турбулентные струи [1, 23, 24] и слой смешения двух полубесконечных потоков [56]. Как и в случае плоского следа за пластиной, расчеты показывают возможность реализации двух режимов истечения плоской струи из сопла — симметричного и несим­метричного. Соответствующие вихревые структуры в фиксированный момент времени т = t uo/h = и представлены на рис. 2.11. В дей­ствительности реализуется несимметричная вихревая структура струи, соответствующая поперечному перемешиванию сгустков завихренно­сти разного знака. Из представленного на рис. 2.12 сравнения расчета и эксперимента для средней скорости вдоль оси плоской струи вид­но, что только в случае реализации несимметричной вихревой струк­туры обеспечивается удовлетворительное согласие расчета с экспе­риментом.

Рис. 2,8, Изменение вдоль оси следа за пластиной средней скорости
< и> /их, давления cp =, < p > /(0,5ри2оо), продольных (< и’2 >)х/2/их
и поперечных (< v’2 >)1/2/их пульсаций скорости на участке протяженностью
x/h = 0 — 4 : 1 — эксперименты, 2-4 — расчеты

Vі
и

x

Круглые турбулентные струи [23—25]. В качестве базового вих­ревого элемента было использовано вихревое кольцо. Однако жесткое условие осевой симметрии имело следствием очень слабое расширение струи. Поэтому было рассмотрено решение задачи в трехмерной поста­новке, т. е. расчеты круглой струи были выполнены при отказе от усло­вия осевой симметрии. В качестве основного модуля использованы вихревые многоугольники, границы струи моделировались вихревыми рамками и по мере растяжения вихревых отрезков, составляющих эти рамки, производилось их дробление на более мелкие.

Расчеты показали (рис. 2.13), что сходящие с кромки сопла почти круглые вихри (вихревые многоугольники) сохраняют свою азиму­тальную однородность на первых трех калибрах x/d = 0 — 3, по­сле чего вихревые кольца приобретают звездообразную и простран­ственную структуру, x/d = 3,5 — 6,0; далее при x/d > 6,0 происхо­дит стохастизация течения. При этом в отличие от осесимметричного

1

приближения, моделируется расширение струи и уменьшение средней скорости (рис. 2.14) вдоль оси струи, заметно улучшается совпадение расчета с экспериментом для продольных и радиальных пульсаций скорости и, кроме того, рассчитываются азимутальные пульсации ско­рости (см. рис. 2.14).

Рис. 2.12. Изменение скорости вдоль оси плоской струи (а) (1 и 2 — экспери­менты, 3 и 4 — соответственно расчеты при симметричной и несимметричной вихревых структурах) и круглой турбулентной струи (б) (1 и 2 — эксперимен­ты, 3 и 4 — расчеты при симметричной и трехмерной несиметричной вихревых

структурах)

Описанный в настоящем разделе подход используется далее (см. гл. 6) в расчете турбулентного течения при обтекании рельефа местности. Этот подход позволяет, в частности, рассчитать лобовое сопротивление обтекаемых двумерных и трехмерных тел (пластина, призма, диск и др.).

Рис. 2.14. Сравнение расчетных и экспериментальных профилей средней ско­рости < u> /uo, трех составляющих пульсационной скорости (< u’i > 1/2)/uo (i = 1,2, 3) и рейнольдсова напряжения сдвига < u’v’ > /uO в сечении x/d = 4 при расчете струи в трехмерной постановке (точки — эксперимент, кривые — расчет; u] = u’, u’2 = v’, u’3 = w’)

 

В последнее время опубликованы результаты исследования струк­туры турбулентности в затопленной круглой струе [66] на основе рас­четов, выполненных на суперкомпьютере (рис. 2.15). Рассматривается турбулентное течение в струе невязкой жидкости и исследуются его статистические свойства. Поле скоростей взаимодействующих вихре­вых трубок определено на основе закона Био-Савара. Показано, что в рамках данного подхода описываются характеристики турбулентно­сти, согласующиеся с физическими экспериментами и данными прямо­го численного моделирования, структурные функции, энергетические спектры, логнормальное распределение завихренности и двухточечные корреляционные функции.

Закрученное турбулентное течение в цилиндрическом вих­ре [23]. Рассмотрим расчет закрученного течения в цилиндрическом вихре для случая идеальной жидкости в рамках МДВ (рис. 2.16, а). Для такого течения, как известно, существует точное решение: внут­ри цилиндра радиуса R равномерно распределенная завихренность ш = const.

В дискретном аналоге вихревого цилиндра вихревой объем запол­нялся дискретными вихрями одинаковой циркуляции Гі, равномер­но распределенными по угловым координатам на каждой окружности (рис. 2.16, б). Безразмерные величины вводились следующим образом:

Рис. 2.15. Когерентные вихревые структуры в начальном участке круглой турбулентной струи [66]

Рис. 2.16. Результаты расчета модельного течения: а — вихревой цилиндр, б — дискретный аналог вихревого цилиндра, в — сравнение приближенных и точных решений для окружной скорости < и >, давления < p > и градиента давления d < p > /dx : 1 — точное решение, 2-Д = 0,05, N = 400, 3-Д = 0,1, N = 400, 4-Д = 0,2, N = 400

Пример сопоставления рассчитанных значений скорости, давления и его радиального градиента с точным решением для цилиндрического вихря (рис. 2.16, в) свидетельствует об удовлетворительной точности при числе вихрей N = 400 и радиусе дискретности Д = 0,2 (невязкое приближение).

Для рассмотрения в рамках МДВ завихренного течения были вы­полнены расчеты характеристик турбулентного течения — пульсаций скорости в окружных и радиальных направлениях, энергия турбулент­ности и ее спектральные характеристики.

Взаимодействие вихревой пары с параллельным плоским экра­ном, В заключение данного раздела рассмотрим плоскую нестацио­нарную задачу о взаимодействии двух параллельных вихревых жгутов разного знака, распростаняющихся параллельно плоскому экрану 1). При этом исследуются вторичные течения, обусловленные вязкостью среды и образованием на экране турбулентного пограничного слоя при больших числах Рейнольдса.

Итак, два параллельных вихревых жгута с циркуляциями Го и —Го расположены параллельно плоскому экрану на расстоянии Но от него, расстояние между их осями 2zo/Ho = 1 (рис. 2.17, а). Для выполнения на экране условия непротекания на расстоянии у = —Но от него рас­полагались два зеркально отраженных вихревых жгута с циркуляци­ями, знак которых противоположен знаку исходных вихревых жгутов при у = Но. Исходные вихревые жгуты и их зеркальные напарники заменялись системой 19 прямолинейных вихревых нитей с одинаковы­ми циркуляциями. При этом круговое ядро заменялось центральным линейным вихрем и двумя концентрическими слоями, состоящими из 6 и 12 таких же вихрей.

Указанные вихревые жгуты индуцируют у экрана пристенное по­перечное течение, сопровождающееся при больших числах Рейнольд­са образованием турбулентного пограничного слоя. Число Рейнольдса определяется по формуле Re = УоНо/и, где Vo— скорость, индуци­рованная одним из вихревых жгутов в центре второго в начальный момент времени. При отрыве этого слоя на участке положительно­го градиента давления в поперечном направлении образуются вихри с циркуляцией противоположного знака. Эти вторичные вихри инду­цируют поперечное смещение первичных вихрей, которые движутся по петлеобразной траектории. Данная задача решалась в квазистационар­ном приближении.

При этом интегральный метод расчета пограничного слоя исполь­зуется только для определения параметров вторичных вихрей, обра­зующихся при отрыве слоя. Далее уже в рамках идеальной среды

9 Гиневский А. С., Погребная Т. В., Шипилов С. Д. О взаимодействии вих­ревой пары и вихревого кольца с плоским экраном. Инженерно-физический журнал, 2оо9, в печати.

Рис. 2.17. Взаимодействие вихревой пары с параллельным плоским экраном. Геометрия потока в начальный момент времени (а). Траектории движения первичных (черный цвет) и вторичных (серый цвет) вихрей в моменты времени tVo/Но = 75 (б) и tVo/Ho = 150 (в)

рассматривается взаимодействие вторичных и первичных вихрей. Ре­зультаты соответствующего решения показаны на рис. 2.17, б и в. Здесь представлены траектории первичных и вторичных вихрей в два момента времени и проиллюстрированы развитие вторичных вихрей и их воздействие на поперечное смещение первичных вихрей с образо­ванием петлеобразной траектории их движения. Важно отметить, что вторичные вихри взаимодействуют с первичными вихрями, не смеши­ваясь с ними. В других случаях, например при натекании кольцевого вихревого жгута на плоский экран, происходит перемешивание вторич­ных и первичных вихрей.

Данная задача представляет интерес применительно к исследова­нию взаимодействия вихревого следа самолета с поверхностью аэро­дрома на взлетно-посадочных режимах. Более подробно детали реше­ния описаны в гл. 7 настоящей книги.